« 音階と音程1 物理的な音律 | トップページ | 音階と音程 弦楽器の調弦と弦を押さえる位置 »

2015年2月15日 (日)

音階と音程 物理的音律と数学的音律

 

前回示した物理的な音律では基音(根音)に対する各音階の振動数の倍率は下の表のように、長調でも短調でも比較的単純な比率になっています。

 

この表では、短調の音律は長調とは関係なく取りましたが、長調の音律の関係をそのまま持ちこむと、4度の音程が27/20になり、少し広くなります。

 

しかし、純正律では、短調は長調とは関係なく取るべきかもしれないので、4度は4/3した方がよさそうです。音楽理論的にはどうなのか、ちゃんと調べていないので、ここでは純正律というよりは物理的音律ということにしています。

 

前回のヘ短調の音程は4度が27/20で計算しましたが、本来は4度が4/3とすべきだったと思います。

 

                                                               
 

長調

 
 

1

 
 

2

 
 

3

 
 

4

 
 

完全5

 
 

6

 
 

7

 
 

振動数

 
 

1

 
 

9/8

 
 

5/4

 
 

4/3

 
 

3/2

 
 

5/3

 
 

15/8

 
 

短調

 
 

1

 
 

2

 
 

3

 
 

4

 
 

完全5

 
 

6

 
 

7

 
 

振動数

 
 

1

 
 

9/8

 
 

6/5

 
 

4/3

 
 

3/2

 
 

8/5

 
 

9/5

 

 

 このように、物理的な音律では、各音程の間の振動数の関係は比較的単純な比率になっています。

 

では、数学的なピタゴラス音律と平均律ではどうでしょうか。

 

ピタゴラス音律は完全五度の積み重ねでできています。

 

ドの完全五度上はソです。ソの完全五度上はレです。

 

同様にして積み重ねると

 

ド、ソ、レ、ラ、ミ、シ、ファ♯、ド♯、ソ♯、レ♯、ラ♯、ミ♯、シ♯

 

♯系の音列となります。ここで最後のシ♯はドと同じはずですが、音程は少し高くなっています。

 

また、ドから下の方に完全五度で積み重ねると

 

ド、ファ、シ♭、ミ♭、ラ♭、レ♭、ソ♭、ド♭、ミ、ラ、レ、ソ、ド

 

♭系の音列となります。ここで、最初のドと最後のドでは音程が同じではありません。

 

これは最初のドの振動数を1として1.5倍するとソになり、その1.5倍すなわち1.5の二乗倍がレというように1.5の冪乗になっているために、1.5をいくら積み重ねても2の冪乗にはならず、ドにはならないことになります。

 

下の方に積み重ねても同様で、ファはドの2/3倍です。この冪乗もまた2あるいは1/2の冪乗にはならないのです。これらの音程を1オクターブの中にまとめると

 

                                                                                                                       
 

♯系音列

 
 

振動数

 
 

♭系音列

 
 

振動数

 
 

 
 

1

 
 

 
 

1

 
 

ド♯

 
 

2187/20481.068

 
 

レ♭

 
 

256/2431.053

 
 

 
 

9/81.125

 
 

 
 

65536/590491.110

 
 

レ♯

 
 

19683/163841.201

 
 

ミ♭

 
 

32/271.185

 
 

 
 

81/641.266

 
 

 
 

8192/65611.249

 
 

ミ♯

 
 

177147/1310721.352

 
 

ファ♭

 
 

-----

 
 

ファ

 
 

4/31.333

 
 

ファ

 
 

4/31.333

 
 

ファ♯

 
 

729/5121.424

 
 

ソ♭

 
 

1024/7291.405

 
 

 
 

3/21.5

 
 

 
 

262144/1771471.480

 
 

ソ♯

 
 

6561/40961.602

 
 

ラ♭

 
 

128/811.580

 
 

 
 

27/161.688

 
 

 
 

32768/196831.665

 
 

ラ♯

 
 

59049/327681.802

 
 

シ♭

 
 

16/91.778

 
 

 
 

243/1281.898

 
 

ド♭

 
 

4096/21871.873

 
 

シ♯

 
 

531441/5242881.014

 
 

 
 

524288/5314410.987

 

 

となります。

 

 では、もう一つの数学的音律、平均律ではどうでしょうか。

 

平均律では1オクターブを半音ずつ12音列に平均に分割します。

 

ここで、音列は冪乗となるので、12回冪乗してオクターブすなわち振動数が2倍になるには半音が212乗根であれば良いわけです。

 

212乗根は1.05946…..なので、これを冪乗して音列を作ると

 

                                                                             
 

音列

 
 

振動数

 
 

物理音律振動数

 
 

 
 

1

 
 

1

 
 

ド♯、レ♭

 
 

1.05946

 
 

16/151.06667

 
 

 
 

1.12246

 
 

9/81.125

 
 

レ♯、ミ♭

 
 

1.18920

 
 

6/51.2

 
 

 
 

1.25991

 
 

5/41.25

 
 

ファ

 
 

1.33482

 
 

4/31.33333

 
 

ファ♯、ソ♭

 
 

1.41419

 
 

7/51.4

 
 

 
 

1.49828

 
 

3/21.5

 
 

ソ♯、ラ♭

 
 

1.58736

 
 

8/51.6

 
 

 
 

1.68175

 
 

5/31.66667

 
 

ラ♯、シ♭

 
 

1.78175

 
 

9/51.8

 
 

 
 

1.88769

 
 

15/81.875

 

 

これから、ピタゴラス音律では♯系は平均律よりも音程が高く、♭系は平均律よりも音程が少し低いことがわかります。

 

一方、物理的な音律は平均律に対する音程の高低は一律ではないことがわかります。

 

これらの差が弦楽器の弦の位置でどれぐらい変わるのか、次回考えてみたいと思います。


 

 

« 音階と音程1 物理的な音律 | トップページ | 音階と音程 弦楽器の調弦と弦を押さえる位置 »

文化・芸術」カテゴリの記事

科学」カテゴリの記事

音楽」カテゴリの記事

コメント

コメントを書く

(ウェブ上には掲載しません)

トラックバック

この記事のトラックバックURL:
http://app.cocolog-nifty.com/t/trackback/534741/61137311

この記事へのトラックバック一覧です: 音階と音程 物理的音律と数学的音律:

« 音階と音程1 物理的な音律 | トップページ | 音階と音程 弦楽器の調弦と弦を押さえる位置 »

最近の記事と写真

フォト
無料ブログはココログ