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2011年12月 6日 (火)

自由落下と横風の影響:熱気球競技に関連して

20111130日の記事、「自由落下と空気抵抗:熱気球競技の場合」では、横からの風の影響を考えていません。

そこで、横風や、風速の変化によって、落下位置がどの程度変化するか、考えてみました。

 

マーカーの質量は77gです。

進行方向の風の変化に対する影響はマーカーのナイロン布に沿った空気抵抗とします。

この場合、ナイロン布による抵抗はほとんど無いと思われますので、砂袋のみによるとして、

抵抗係数は0.0018 kg/mとします。

 

一方、進行方向に垂直な方向からの風の影響は、ナイロン布の全面が効いてくるので、空気抵抗に効く断面積は0.18 m2と非常に大きくなり、抵抗係数は0.108 kg/mと約60倍も大きくなります。

 

この計算は、やはり微分方程式を解くため、詳細は1130日の付録を参考にしていただくことにして、ここでは結果だけを示しましょう。

 

まずは、ナイロン布に沿った方向での、風速の変化による、速度の変化を下の図に示します。

時間は風速が変化してからの時間です。また、各曲線は風速の変化に対して示しています。

Photo

 

風速が2 m/sの変化の場合、5秒間では20%程度の速度の変化ですが、20秒間も続くと50%の変化になります。

また、風速の変化が大きく10 m/sの変化の場合は、速度変化は5秒後で50%を超えます。20秒後にはほとんど80%も変化します。

 

ナイロン布に垂直な方向の横風の場合は、影響はもっと顕著で、下の図のように、風速の変化が2 m/sでも、ほとんど数秒で90%以上の速度の変化になります。

Photo_2

 

この結果、位置のずれがどの程度になるかを計算すると、下の図のようになります。

Photo_3

まず、風速の変化が0.2 m/s から1 m/sの場合、ナイロン布に沿った方向では、

風速が変わって、20秒後でも0.2 m/sでは10 cm程度、1 m/sで、3.5 mですが、

これ以上風速の変化が大きくなると、下の図のように、ずれも非常に大きくなります。

Photo_4

風速が10 m/sも変化すると、5秒間でも位置のずれは20mにもなります。

 

ナイロン布に垂直な方向では、空気抵抗が大きいので、ずれも顕著になります。

下の図は風速の変化が0.2 m/sから1 m/sまでを示しています。

Photo_5

 

風速の変化が0.2 m/sで、10秒後に約1mずれます。風速の変化が1 m/sでは10秒後に8mのずれです。

 

更に大きい風速の変化では、下の図のように、時間に対してほとんど直線的にずれています。

Photo_6

実際には、マーカーに対して、風の向きが少し変わることが多いと思います。

その場合は、ナイロン布に沿った方向の成分と垂直な成分に分けることで、別々に考えることが出来ます。

例えば、ナイロン布に沿った方向に対して、風の方向が30度変化したとします。

その場合は、沿った方向には風の速度は約85%、垂直方向に50%の速度になります。

すなわち、風速30mの場合、風速の変化は、ナイロン布に沿った方向で約4.5 m/sの変化、

ナイロン布に垂直な方向で、15 m/sの変化になります。

これはかなり大きな変化なので、影響も大きそうです。

一般に横風の影響は空気抵抗率と質量の比によっています(20111130日の付録の横風の項を参照してください)。

風船のように空気抵抗率が大きく、質量が小さい場合、この比は非常に大きくなり、そのために、風船は、すぐに風速と同じ速度で移動することになります。

紙や塵なども同じ理由で、風に飛ばされやすいのです。

 

風船は、風の向きに沿って進むので、沢山の風船(気球)が並んでいると風の道が見えてきます。下のURLの記事には熱気球が風の道に沿って並んでいるのが見えます。

http://www.danube4seasons.com/search/essay/00_d4s_2011-09_1.html 

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