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2009年8月24日 (月)

地球の重さ(質量)

地球の重さ(正確には質量)はどの程度なのだろうか?

 

地球の質量を測るには、質量の分かった物体と地球との間の万有引力の大きさを測れば、万有引力の公式

 

万有引力=万有引力定数×物体の質量×地球の質量÷物体の重心と地球の重心の間の距離の二乗

 

を使って求めることが出来る。

 

物体の重心と地球の重心の間の距離は、物体が地球上にあれば、地球の半径と考えてよい。

 

万有引力の大きさは、地球上の物体の場合、物体に掛かる地球の引力そのものであり、

物体の質量×重力の加速度である(落ちる:落下の法則(2009年5月12日)および重量と質量(2009年5月13日)参照)。

すなわち、

万有引力=物体の質量×重力の加速度

 

そこで万有引力を上の式で置き換えて、次の式を作ることが出来る。

 

物体の質量×重力の加速度=万有引力定数×物体の質量×地球の質量÷地球の半径の二乗

 

上の式の両辺で、下線を引いた物体の質量は同じなので、消去することが出来る。

(数学的には両辺を物体の質量で割ればよい)

そうすると、

 

重力の加速度=万有引力定数×地球の質量÷地球の半径の二乗

 

となるので、この式を書き直すと

(数学的には両辺を万有引力定数で割って、地球の半径の二乗を掛ける)

 

地球の質量=重力の加速度×地球の半径の二乗÷万有引力定数

 

となる。地球の半径も重力の加速度も万有引力定数も既に分かっているので、この式から地球の質量が求まる。

 

重力の加速度は9.8N/kgあるいは9.8m/s2 である。ここで、Nは力の単位でニュートン(エネルギー(カロリー計算-1)2009年2月21日参照)、sは時間の単位で秒である。

 

地球の半径は赤道の長さ4千万mを2πすなわち2×3.14で割ればいいので、約6366000m。

 

万有引力定数は6.672×1011m3/kgs2

 

10111÷1011のことであり、1011100000000000011)である。

 

これらの数値を入れて計算すると地球の質量は6.0×1024kgという非常に大きな値となる。

 

1024とは1000000000000000000000000024個)である。

大きすぎて見当がつかない。

 

地球の質量を地球の体積で割ると地球の密度(あるいは水に対する比重)が出る。

地球の体積は4×3.14×地球の半径の3乗÷3なので、1.08×1021m3

 

密度は5600kg/m3となる。

水に対する比重は1m3の水の質量が1000kgなので、比重は5.6である。

 

地球には珪素(比重2.34)、アルミニウム(比重2.69、)亜鉛(比重7.12)や鉄(比重7.86)が多く含まれていると考えると、これらの平均の比重が5なので、そんなものかなと思われる。

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科学」カテゴリの記事

コメント

この測定法は、磁場を持たない場合には良いでしょうけど。

現実の地球は磁場がありますね。

この磁場に沿うように電磁場が存在するわけですよね。

電磁場は、重力によって曲げられるというのが相対論の説明だったと思います。

地球の磁場は曲がっているわけだから、この曲がっている磁場によって発生する電磁場も曲がっているのではないですか。

そうなると、その電磁場に沿って曲がっている重力も地球を取り巻いていませんか。

実際測定されている重力の値は、複数の方向に展開している力のベクトル合成の結果を見ていることには、なりませんか?

Covaさん

非常に正確に言うとおっしゃるとおりです。

しかし、地球の重力では、観測にかかるほどの電磁場を曲げることは出来ず、
また、地球上の電磁場では、やはり観測にかかるほどの重力場の曲がりは出来ないと思われます。
ですから、近似的に重力場は地球の中心から放射状に広がっていると思っていいと思います。
ここでの計算はせいぜい有効数字2桁の計算ですから、ほとんどこの問題はないと思われます。精度が上がってくると、効いて来るかも知れませんが…

重力場の曲がりが現在の技術で観測できるとすれば、月の軌道のずれ方に効いてくると思います。

ただこの問題は、かなり複雑な多体問題を解く必要があり、軌道のずれが重力場の曲がりによるかどうかは難しいと思います。

またそれより重大なのは、太陽からの重力場と太陽の磁場の関係による惑星の軌道のずれですが、これも今のところは、測定誤差範囲内でニュートン力学でよいと思われます。

地球の重力では、観測にかかるほどの電磁場を曲げることは出来ず、地球上の電磁場では、やはり観測にかかるほどの重力場の曲がりは出来ないと思われますか。

それは、木星や土星、さらには、太陽のようなガス天体と考えられてきたような大きな天体であれば、無視できないほどの影響が、実はあったのだという可能性はありえるということでしょうか。

Covaさん、

非常に重い天体の場合には、電磁場に対して影響があると思いますが、
その天体による電磁場がそれほど強力でなければ重力にはほとんど影響がないだろうと思います。

木星や土星でも、衛星の運動は、ニュートン力学で計算した軌道からほとんど外れていないので、
観測にかかる重力の曲がりは無いと思われるわけです。
太陽の場合でも、惑星の運動も水星の運動も、ニュートン力学の範囲内で、
相対論を考える必要は無いと思われるわけです。

木星の磁場は、地球の磁場の1万倍だそうですね。

そうなると、電磁場も1万倍ですか。

電磁波に沿うように、重力波も同じ場所を同じ方向に伝播するのでしょ。

木星など、この重力波に見合う質量が見落とされている可能性は、ありませんか。

Covaさん

磁場が1万倍でも、電磁場がそうなるとは限りません。

また、重力波はブラックホールのように巨大な質量を持つ物体が光速に近い速度で運動する場合に観測されるはずですが、木星の質量は小さく、速度も小さいので、重力波は無視できるほど小さいので、質量に影響を及ぼすことは無いと思われます。

現在でも、重力波の直接的な測定は難しく、まだ検出されていないと思いますが、不勉強でしたらすみません。

太陽系全体の質量では重力波など、一般相対論的効果は無視できると思います。

そうですか。

最近、電磁波と重力波のただならない関係を疑う声が多いようですけど。

磁場が1万倍でも、電磁場がそうなるとは限らないなら、電磁波も1万倍になる可能性もあるわけですね。

仮に、電磁波が1万倍になれば、その電磁波を曲げるだけの重力場の強さは必要になりませんか。

1万倍の電磁波を曲げる力を持った重力場の中に強力な重力波が生じたとしても、外部からの測定はかなり難しいのかも知れませんね。

地球の1万倍の磁場に対応するのは、地球の1万倍の電磁場という話なら、ありえるわけですね。

ただ、電磁場の状態によって電磁波の強さが決まるから、単純に電磁波が1万倍とはいかない。

なるとも言えるし、ならないとも言える。

そういうことですね。

私、ちょっと、議論を単純化しすぎましたね。

Covaさん

はい、そう話は単純ではないですね。

ミスタイプ?

物体の質量×重力の加速度である(落ちる:落下の法則(2009年5月12日)および重量と質量(2009年5月13日)参照)。
すなわち、
万有引力=物体の加速度×重力の加速度

物体の加速度ではなく 物体の質量 ですよね。

石井さん

ご指摘ありがとうございます。
ミスプリでした。
早速直します。

ここまではすべて理解できました。ありがとうございます。
さて、それでは月の質量はどのように求めるのでしょうか。教えてください。

ムムムさま

月の質量を求めるのは少し難しいです。
地球を回る月の軌道からは求めることは出来ません。
月の軌道の中心は地球の中心ではなく少しずれるはずです。
すなわち、月と地球の重心の位置を中心に回っているはずです。
そこで、天体観測によって、軌道の中心と地球の中心のずれを測定すれば月の質量を求めることが出来ます。

重力加速度は定義によると地球の万有引力+地球の自転による遠心力です。実際に地球の各地で真空の管の中を落した玉の時間を測定して各地の重力加速度を測定しています。地球の磁場は重力加速度に無関係です。
重力(Gravity)が力でないことはアインシュタインが1907年に気が付いた事です。ニュートンは万有引力という力の式にしましたが、力であることは実証されていません。

原さま

コメントありがとうございます。遠心力は赤道上でも重力の加速度の0.3%程度なので、無視したのですが、定義では遠心力の項が含まれているのは初めて知りました。ありがとうございます。

一般相対性理論では、確かに、重力で自由落下しいる観測者から見ると静止している物体には上(落下の方向と反対向き)方向に力が働いているように見えるので、万有引力が力かどうかは、あるいは非接触の力の場は、数学的な定義では力であっても、難しい問題を含んでいますね。

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